Welche Zahlen gibt es?

In der Mathematik rechnen wir mit Zahlen. Man unterscheidet verschiedene Zahlenarten (Klassen). Die wichtigsten Zahlenarten sind:

  • Natürliche Zahlen natuerlichezahlen
  • Ganze Zahlen ganzezahlen
  • Negative Zahlen
  • Rationale Zahlen rationalezahlen
  • Irrationale Zahlen
  • Reelle Zahlen reellezahlen
  • Komplexe Zahlen komplexezahlen



zu Natürliche Zahlen natuerlichezahlen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8, ..., also diejenigen, die jeder zum Zählen braucht.Prinzipiell gilt daher: Alles was ich abzählen kann, wird als natürlich Zahl bezeichnet.

Wie man sieht, fehlt in der obigen Aufzählung die „0“. Manche Mathematiker rechnen die „0“ dazu, andere aber nicht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen 3e6f4b03d0dcc31ad09e023075585def abgekürzt.
Sie umfasst entweder die positiven
ganzen Zahlen
71d65598d569ad2cd682e4caa6d494e4
oder die nichtnegativen ganzen Zahlen
0593d489b0c498f376f3b4f4a85e5427


Die natürlichen Zahlen bilden mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur. Die natürlichen Zahlen lassen sich noch weiter unterteilen. Es gibt noch die geraden Zahlen, die ungeraden Zahlen und die Primzahlen.
Als gerade Zahlen werden alle Zahlen bezeichnet, die sich durch 2 ohne Rest teilen lassen. Dies sind die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12...
Die ungeraden Zahlen liegen dazwischen: 1, 3, 5, 7, 9, 11....
Die sogenannten Primzahlen hingegen lassen sich nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilen. Die ersten Primzahlen lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Darüber hinaus gibt es noch die Begriffe „Kardinalzahl“ und „Ordnungszahl“, die im Moment noch nicht so wichtig für uns sind. Wer´s genauer wissen will, bitte googeln.

zu Ganze Zahlen ganzezahlen

Als ganze Zahl bezeichnet man alle Zahlen, die die nur Nullen hinter dem Komma aufweisen. Beispiele:  …. -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...

Die Menge ganzezahlen heißt Menge der ganzen Zahlen.
ganzezahlen
Die ganzen Zahlen enthalten also alle natürlichen Zahlen einschl. der Null und alle diese Zahlen mit einem Minuszeichen davor.
Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge
d9d8c561724e7c84b7b7a74366c81746
d. h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven 9672ca38ba79501489bcc9609dec6a4e, nichtnegativen d6f71b68074865aa4c324570152e42d7, negativen 7f793bcf1a54c3a57f667ae99ea1b87f und nichtpositiven 1a9254ea9cae80603128ec5c2f293c18 ganzen Zahlen.
Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ.
Diese Ordnung ist
verträglich mit den Rechenoperationen, d. h.
ist 1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7 und db597f88cfc5c6dec0e33fb1d6b30194, dann ist 71a043321ab20993fedcba1d207340b2,
ist
1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7 und 751c3fefc2dc9a30ef546fe135910593, dann ist 0836cf1b2ed8a9c72a314a6cc05edf98.
Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar.

zu Negative Zahlen

Die negativen Zahlen entstehen wenn man von einer Zahl eine größere subtrahiert.
Alle Zahlen bestehen aus zwei Teilen, dem Betrag und dem Vorzeichen.
Anmerkung:
Der Betrag sind die "normalen" Zahlen. Wenn man bei einer Zahl vom Betrag spricht, setzt man die Zahl zwischen 2 Striche, z.B. I2I bedeutet „Betrag von 2“

Das Vorzeichen ist entweder
+ (Plus, und wird normalerweise nicht mitgeschrieben) oder - (Minus).
Negative Zahlen sind z.B. -1, -2, -3, -4, ....... usw.

Anmerkung: Hier Aufpassen!!
Beispiel: Was ist 10 - 35?
Da 35 größer als 10 ist, geht das eigentlich nicht. Daher drehen wir die Zahlen zunächst um:
Das heißt wir berechnen 35 -10, das ergibt 25 und das nennen wir „Betrag“.
Vor diesen Betrag schreiben wir jetzt das Vorzeichen: -25 ist somit das Endergebnis von von 10 - 35:



zu Rationale Zahlen rationalezahlen

Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Man spricht auch von „gebrochener Zahl“. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen c87b204334dd81b1f521af313b4aa9a9 (von „Quotient“) bezeichnet.
Die Menge mengerationalezahlen heißt Menge der rationalen Zahlen.
Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält.
Im Nenner darf aber nie eine „0“ stehen.
Die Division durch Null ist für uns nicht zulässig.
Zum Beispiel sind rationale Zahlen: 1/2, 1/3, 4/6, 167/ 346 ... usw.

zu Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen kann man als Bruch darstellen, irrationale Zahlen können jedoch nicht durch einen ganzzahligen Bruch dargestellt werden!
Daher kann man definieren:
Irrationalen Zahlen sind alle Kommazahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Dies sind meistens Zahlen, die durch unendliche Folgen und Reihen zustande kommen (so wie zum Beispiel die Zahl Pi).
Zieht man zum Beispiel die Wurzel aus der Zahl 2, erhält man etwa die Zahl 1,4142. Diese Zahl ist jedoch ungenau, denn es folgen bei der Wurzel aus 2 unendlich viele Stellen nach dem Komma. Dies gilt auch für die Kreiszahl π ( gesprochen: pi ), bei der in der Schule meist der Wert 3,14 als Näherung verwendet wird. In der Praxis bricht man also nach einer bestimmten Stelle nach dem Komma ab und erhält somit eine endliche Dezimalzahl ( Kommazahl ).


zu Reelle Zahlen reellezahlen

Fasst man alle rationalen und irrationalen Zahlen zu einer Menge zusammen, erhält man die sogenannten reellen Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Zu ihrer Bezeichnung wird das Symbol 2369a2488f59aa39a3fca53e0eff9f88 verwendet.

Die reellen Zahlen werden unterschieden in:

a) rationale Zahlen 2204f043ea341be095ca37c4654f6642


b) ganze Zahlen 3343f2921b365fcb2c4354b6d2aca38a


c) natürliche Zahlen 9b3ecd4f5f0cc174717f19cec0743fcd = eec7a1e788d9e069a61399bbfbcc0ead oder 619104a8cdb03c9dae1b83586cf4f000 = dd8eec92507df112cf11097e8d0f3ea0


d) irrationale Zahlen 6acab3a3dbf95188866273072abcbc66 = die Menge aller Elemente von 2369a2488f59aa39a3fca53e0eff9f88, die nicht in 5eac308e29708e918ed13a88a4249b74 liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in:
irrationale algebraische Zahlen und transzendente Zahlen.



zu Komplexe Zahlen komplexezahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen erfolgt erst an den Fachhochschulen bzw. Technischen Universitäten, vorzugsweise wenn du Dipl.Ing. für Elektrotechnik werden willst.
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung 05dda07ab825ea5edda1cc63040cde2f lösbar wird.
Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl
ed57c952c4afd904788a83381bfbc30a mit der Eigenschaft 05ec482243b5d7fda9e2a9ba3aa895fa. Diese Zahl ed57c952c4afd904788a83381bfbc30a wird als imaginäre Einheit bezeichnet. In der Technik wird stattdessen der Buchstabe 0fea96ccbf598e33e6f176a9cab821e4 verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch 57657bc2e37bc611375fe476ff214b58 bezeichneten) von der Zeit e358efa489f58062f10dd7316b65649e abhängigen Stromstärke vorzubeugen.