Funktionen
Innerhalb wie auch außerhalb der Mathematik interessieren oft Abhängigkeiten zwischen Größen: Abhängigkeiten zwischen dem Personalstand und dem Umsatz eines Betriebes, zwischen der Fahrgeschwindigkeit eines Autos und dem Benzinverbrauch, zwischen der Tageszeit und der Lufttemperatur, zwischen dem Radius einer Kugel und ihrem Volumen etc.
Abhängigkeiten zwischen Größen nennt man in der Mathematik unter bestimmten Bedingungen (die in vielen Fällen erfüllt sind) Funktionen. Wegen seiner theoretischen wie auch praktischen Bedeutung zählt der Funktionsbegriff heute zu den wichtigsten mathematischen Begriffen überhaupt. Somit beschäftigen wir uns mit der Frage, unter welchen Bedingungen man Abhängigkeiten zwischen Größen als Funktionen bezeichnet (wir werden also definieren, was eine Funktion ist), und zugleich einige typische Beispiele für funktionale Abhängigkeiten und ihrer Darstellung kennen lernen.
Eine Funktion von der Menge X in die Menge Y ist eine Zuordnungsvorschrift, die in eindeutiger Weise jedem Element aus X ein Element aus Y zuordnet. Die Menge X nennt man Definitionsbereich von f und Y nennt man den Wertebereich von f.
Zu beachten:
1. Von einer Funktion spricht man also nur, wenn eine eindeutige Abbildung oder Zuordnung vorliegt.
2. x heißt Argument oder unabhängige Variable. Die Bezeichnung “unabhängig” soll darauf hinweisen, dass x willkürlich, das heißt unabhängig von weiteren Einschränkungen, aus dem Definitionsbereich X gewählt werden kann.
3. Die y – Werte sind dagegen durch Anwendung der Funktion f auf die jeweils ausgewählten x – Werte bestimmt. y heißt deshalb abhängige Variable oder auch Funktionswert.
4. Für den Definitionsbereich X ist auch die Bezeichnung Argumentbereich, für den Wertebereich Y auch Wertevorrat oder Bildbereich. Der Definitionsbereich ist also der Variabilitätsbereich der unabhängigen, der Wertebereich der Variabilitätsbereich der abhängigen Variablen.
5. Die Funktion kann statt durch f auch durch andere Zeichen zum Beispiel F, g, h, sin, tan, lg, … bezeichnet werden.
Darstellung der Funktionen
Funktionen können in verschiedener Art beschrieben und dargestellt werden. Das kann geschehen:
A.) durch Erklärung der Zuordnung in Worten,
B.) durch eine Wertetafel,
C.) durch eine grafische Darstellung (ein Funktionsbild) und
D.) durch einen analytischen Ausdruck (eine Funktionsgleichung).
Dabei ist eine Darstellung nach a.) stets für den gesamten Definitionsbereich möglich, die Darstellung nach b.) und c.) umfassen aber mitunter nicht die gesamte Menge f der geordneten Paare. Die Darstellung nach d.) versagt oft bei Funktionen, die konkrete Sachverhalte wiedergeben beziehungsweise aus diesen durch Abstraktion gewonnen wurden. Zu beachten: Die Wertetafel sollte alle Beobachtungswerte enthalten. Die Einheit auf den Koordinatenachsen wählt man entsprechend dem Definitionsbereich und Wertebereich.
Elementare Funktionen / Umkehrfunktionen
Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn jede Parallele zur X-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet.
Durch das Vertauschen von x und y einer Funktion erhalten wir eine Umkehrfunktion, die sich auch im Graphen widerspiegelt. Die Umkehrfunktion von wird mit -1 bezeichnet. Dazu lösen wir die Funktionsgleichung nach x auf und vertauschen dann die Variablen x und y.
Aus der Funktion y = f (x) = 2x – 4 wird durch die Umformung ½ (y + 4) = x
zur Umkehrfunktion
-1 (y) = ½ (y + 4)
Da das Argument für gewöhnlich mit x beschrieben wird, erhalten wir:
-1 (x) = ½ (x + 4)
Eine Umkehrfunktion wird auch inverse Funktion genannt. Ist eine Funktion in ihrer Definitionsmenge streng monoton, dann ist sie auch umkehrbar. Umkehrbar nennt man sie, wenn sie eine eindeutige Umkehrzuordnung besitzt.
Den Graphen der Umkehrfunktion - erhält man, wenn man den Graphen von an der geraden y = x spiegelt.